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数学知识点汇总!
数学知识点汇总!

  年龄问题的三个基本特征

  ①两个人的年龄差是不变的;

  ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的;

  ③两个人的年龄的倍数是发生变化的。

  植树问题

  基本类型:

  在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树,只有一端植树。

  鸡兔同笼问题

  基本概念:

  鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题,就是把假设错的那部分置换出来。

  基本思路:

  ①假设,即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样):

  ②假设后,发生了和题目条件不同的差,找出这个差是多少;

  ③每个事物造成的差是固定的,从而找出出现这个差的原因;

  ④再根据这两个差作适当的调整,消去出现的差。

  基本公式:

  ①把所有鸡假设成兔子:鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数)

  ②把所有兔子假设成鸡:兔数=(总脚数一鸡脚数×总头数)÷(兔脚数一鸡脚数)

  关键问题:找出总量的差与单位量的差。

  盈亏问题

  基本概念:

  一定量的对象,按照某种标准分组,产生一种结果:按照另一种标准分组,又产生一种结果,由于分组的标准不同,造成结果的差异,由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量。

  基本思路:

  先将两种分配方案进行比较,分析由于标准的差异造成结果的变化,根据这个关系求出参加分配的总份数,然后根据题意求出对象的总量。

  基本题型:

  ①一次有余数,另一次不足;

  基本公式:总份数=(余数+不足数)÷两次每份数的差

  ②当两次都有余数;

  基本公式:总份数=(较大余数一较小余数)÷两次每份数的差

  ③当两次都不足;

  基本公式:总份数=(较大不足数一较小不足数)÷两次每份数的差

  基本特点:

  对象总量和总的组数是不变的。

  关键问题:

  确定对象总量和总的组数。

  牛吃草问题

  基本思路:

  假设每头牛吃草的速度为“1”份,根据两次不同的吃法,求出其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因,即可确定草的生长速度和总草量。

  基本特点:

  原草量和新草生长速度是不变的。

  关键问题:

  确定两个不变的量。

  基本公式:

  生长量=(较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数)÷(长时间-短时间);

  总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量。

  周期循环与数表规律

  周期现象:

  事物在运动变化的过程中,某些特征有规律循环出现。

  周期:

  我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。

  关键问题:

  确定循环周期。

  闰年:一年有366天;

  ①年份能被4整除;

  ②如果年份能被100整除,则年份必须能被400整除。

  平年:一年有365天。

  ①年份不能被4整除;

  ②如果年份能被100整除,但不能被400整除。

  平均数问题

  平均数

  基本公式:

  ①平均数=总数量÷总份数

  总数量=平均数×总份数

  总份数=总数量÷平均数

  ②平均数=基准数+每一个数与基准数差的和÷总份数

  基本算法:

  ①求出总数量以及总份数,利用基本公式①进行计算;

  ②基准数法:根据给出的数之间的关系,确定一个基准数;一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数;以基准数为标准,求所有给出数与基准数的差;再求出所有差的和;再求出这些差的平均数;较后求这个差的平均数和基准数的和,就是所求的平均数,具体关系见基本公式②。

  抽屉原理

  抽屉原则一:

  如果把(n+1)个物体放在n个抽屉里,那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。

  例:把4个物体放在3个抽屉里,也就是把4分解成三个整数的和,那么就有以下四种情况:

  ①4=4+0+0②4=3+1+0

  ③4=2+2+0④4=2+1+1

  观察上面四种放物体的方式,我们会发现一个共同特点:总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体,也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。

  抽屉原则二:

  如果把n个物体放在m个抽屉里,其中n>m,那么必有一个抽屉至少有:

  ①k=[n/m]+1个物体:当n不能被m整除时。

  ②k=n/m个物体:当n能被m整除时。

  理解知识点:

  [X]表示不超过X的较大整数。

  例:[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2。

  关键问题:

  构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量,而后依据抽屉原则进行运算。

  奥数知识点(定义新运算)

  奥数知识点(数列求和)

  等差数列:

  在一列数中,任意相邻两个数的差是一定的,这样的一列数,就叫做等差数列。

  基本概念:

  首项:等差数列的较好个数,一般用a1表示;

  项数:等差数列的所有数的个数,一般用n表示;

  公差:数列中任意相邻两个数的差,一般用d表示;

  通项:表示数列中每一个数的公式,一般用an表示;

  数列的和:这一数列全部数字的和,一般用Sn表示。

  基本思路:

  等差数列中涉及五个量:a1,an,d,n,sn,,通项公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可求出第四个;求和公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可以求这第四个。

  基本公式:

  通项公式:an=a1+(n-1)d;

  通项=首项+(项数一1)×公差;

  数列和公式:sn,=(a1+an)×n÷2;

  数列和=(首项+末项)×项数÷2;

  项数公式:n=(an+a1)÷d+1;

  项数=(末项-首项)÷公差+1;

  公差公式:d=(an-a1))÷(n-1);

  公差=(末项-首项)÷(项数-1)。

  关键问题:

  确定已知量和未知量,确定使用的公式。

  加法乘法原理和几何计数

  加法原理:

  如果完成一件任务有n类方法,在较好类方法中有m1种不同方法,在第二类方法中有m2种不同方法……,在第n类方法中有mn种不同方法,那么完成这件任务共有:m1+m2.......+mn种不同的方法。

  关键问题:

  确定工作的分类方法。

  基本特征:

  每一种方法都可完成任务。

  乘法原理:

  如果完成一件任务需要分成n个步骤进行,做步有m1种方法,不管步用哪一种方法,第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法,第n步总有mn种方法,那么完成这件任务共有:m1×m2.......×mn种不同的方法。

  关键问题:

  确定工作的完成步骤。

  基本特征:

  每一步只能完成任务的一部分。

  直线:

  一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动,形成的轨迹。

  直线特点:

  没有端点,没有长度。

  线段:

  直线上任意两点间的距离,这两点叫端点。

  线段特点:

  有两个端点,有长度。

  射线:

  把直线的一端无限延长。

  射线特点:

  只有一个端点;没有长度。

  ①数线段规律:总数=1+2+3+…+(点数一1);

  ②数角规律=1+2+3+…+(射线数一1);

  ③数长方形规律:个数=长的线段数×宽的线段数;

  ④数长方形规律:个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数。

  质数与合数

  质数:

  一个数除了1和它本身之外,没有别的约数,这个数叫做质数,也叫做素数。

  合数:

  一个数除了1和它本身之外,还有别的约数,这个数叫做合数。

  质因数:

  如果某个质数是某个数的约数,那么这个质数叫做这个数的质因数。

  分解质因数:

  把一个数用质数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是的。

  分解质因数的标准表示形式:

  N=,其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数,且a1<a2<a3<……<an。

  求约数个数的公式:

  P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)。

  互质数:

  如果两个数的较大公约数是1,这两个数叫做互质数。



信息来源:天津朴新晟嘉教育
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